取棱長為a的正方體的一個頂點,過從此頂點出發(fā)的三條棱的中點作截面,依次進行下去,對正方體的所有頂點都如此操作,所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體,則此多面體:①有12個頂點;②有24條棱;③有12個面;④表面積為3a2;⑤體積為
5
6
a3
. 以上結(jié)論正確的是( 。
A、①②⑤B、①②③
C、②④⑤D、②③④⑤
考點:棱柱的結(jié)構(gòu)特征
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:先根據(jù)題意畫出圖形,如圖,原來的六個面還在只不過是變成了一個小正方形,再添了八個頂點各對應(yīng)的一個三角形的面,計算或數(shù)一數(shù)它的面數(shù)等,再結(jié)合割補法求出它的表面積及體積即可.
解答: 解:如圖,原來的六個面還在只不過是變成了一個小正方形,
再添了八個頂點各對應(yīng)的一個三角形的面,
所以總計6+8=14個面,故③錯;
每個正方形4條邊,每個三角形3條邊,4×6+3×8=48,
考慮到每條邊對應(yīng)兩個面,所以實際只有
1
2
×48=24條棱.②正確;
所有的頂點都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點位置,
原來的棱的數(shù)目是12,所以現(xiàn)在的頂點的數(shù)目是12.
或者從圖片上可以看出每個頂點對應(yīng)4條棱,
每條棱很明顯對應(yīng)兩個頂點,
所以頂點數(shù)是棱數(shù)的一半即12個.①正確;
三角形和四邊形的邊長都是
2
2
a,所以正方形總面積為6×
1
2
a2=3a2,
三角形總面積為8×
1
2
×
1
2
a2sin60°=
3
a2,
表面積(3+
3
)a2,故④錯;
體積為原正方形體積減去8個三棱錐體積,每個三棱錐體積為8×
1
6
a
2
3=
1
6
a2,
剩余總體積為a3-
1
6
a3=
5
6
a3.⑤正確.
故選:A.
點評:本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、多面體的表面積與體積等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知向量
a
=(
1
2
,
3
2
),
b
=(-
3
2
1
2
),
c
=(cosθ,sinθ),則(
a
-
c
)•(
b
-
c
)的最大值為
 

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已知函數(shù)f(x)=(
1
3
x-log2x,若x0是函數(shù)y=f(x)的零點,且0<x1<x0,則有( 。
A、f(x1)>0
B、f(x1)<0
C、f(x1)=0
D、f(x1)>0與f(x1)<0均有可能

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已知函數(shù)y=ax2(x≠0)在點(1,a)處切線的傾斜角是45°,則a的值是( 。
A、1
B、
1
2
C、2
D、4

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設(shè)p、q是簡單命題,則“p∧q為真”是“p∨q為真”的(  )
A、充分但不必要條件
B、必要但不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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已知數(shù)列{an}中,an=n2-n-50,則-8是它的第幾項( 。
A、5項B、6項C、7項D、8項

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如圖程序運行后輸出的結(jié)果為(  )
A、10B、9C、6D、5

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已知雙曲線中心在原點,且一個焦點為F(3,0),直線y=x-1與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標(biāo)為-1,則雙曲線的方程為(  )
A、
x2
5
-
y2
4
=1
B、
x2
4
-
y2
5
=1
C、
x2
6
-
y2
3
=1
D、
x2
3
-
y2
6
=1

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若S={1,2,3,4,5},M={1,3,4},N={2,4,5},則(∁SM)∩(∁SN)等于( 。
A、{1,3}B、∅
C、{4}D、{2,5}

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