Question

設(shè)f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若?x₁，x₂∈R，使得g（x₂）≤f（x₁）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：問題等價于g（x）_max≤f（x）_min，分別求函數(shù)最值可得．

解答： 解：?x₁，x₂∈R，使得g（x₂）≤f（x₁）成立，等價于g（x）_max≤f（x）_min，
∵f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
當(dāng)x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x＞-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴當(dāng)x=-1時，f（x）取得最小值f（x）_min=f（-1）=-

1

e

；
由二次函數(shù)可知當(dāng)x=-1時g（x）取得最大值為g（x）_max=g（-1）=a，
∴a≤-

1

e

，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-

1

e

．
故答案為：a≤-

1

e

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最值，涉及導(dǎo)數(shù)法和恒成立問題，屬基礎(chǔ)題．