Question

一動(dòng)圓與兩圓：x²+y²+4x+3=0和x²+y²-4x-5=0都外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)M（x，y），半徑為r，由所求圓與兩個(gè)圓都外切，可得|PC₁|=r+1，|PC₂|=r+3，即|MC₂|-|MC₁|=2，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可知P點(diǎn)的軌跡為以C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，從而求得圓心M的軌跡方程．

解答： 解：x²+y²+4x+3=0即 （x+2）²+y² =1，（x-2）²+y² =9，
故兩圓的圓心分別是C₁（-2，0）、C₂（2，0），半徑分別為1和3．
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)M（x，y），半徑為r，
∵所求圓與兩個(gè)圓都外切，∴|PC₁|=r+1，|PC₂|=r+3，
即|MC₂|-|MC₁|=2，
根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可知P點(diǎn)的軌跡為以C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，
故有c=2；2a=2，a=1，b=

c2-a2

=

3

，
故圓心M的軌跡方程是 x²-3y²=1，
故答案為：x²-3y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓和圓相切的性質(zhì)，雙曲線(xiàn)的定義，屬于基礎(chǔ)題．