Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與直線l：x=m（m∈R），四點（3，-1），（-2

2

，0），（-3，1），（-

3

，-

3

）中有三個點在橢圓C上，剩余一個點在直線l上．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若動點P在直線l上，過P作直線交橢圓C于M，N兩點，使得|PM|=|PN|，再過P作直線l′⊥MN．證明直線l′恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）判斷點（3，1），（3，-1），點（-

3

，-

3

）在橢圓C上，點（-2

2

，0）在直線l上，代入橢圓方程，即可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，利用點差法求出直線l′的方程，可得直線l′恒過定點．

解答： （I）解：由題意有3個點在橢圓C上，根據橢圓的對稱性，則點（-3，1），（3，-1）一定在橢圓C上，
即

9

a2

+

1

b2

=1 ①，…（2分）
若點（-2

2

，0）在橢圓C上，則點（-2

2

，0）必為C的左頂點，
而3＞2

2

，則點（-2

2

，0）一定不在橢圓C上，
故點（-

3

，-

3

在橢圓C上，點（-2

2

，0）在直線l上，…（4分）
所以

3

a2

+

3

b2

=1  ②，
聯立①②可解得a²=12，b²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1；             …（6分）
（Ⅱ）證明：由（I）可得直線l的方程為x=-2

2

，設P（-2

2

，y₀），y₀∈（-

2 3

3

，

2 3

3

），
當y₀≠0時，設 M（x₁，y₁）、N （x₂，y₂），顯然x₁≠x₂，
又PM=PN，即P為線段MN的中點，
M，N代入橢圓方程相減可得直線MN的斜率為

2 2

3y0

，…（10分）
又l′⊥MN，所以直線l′的方程為y-y₀=-

3y0

2 2

（x+2

2

），…（13分）
即y=-

3y0

2 2

（x+

4 2

3

），
顯然l′恒過定點（-

4 2

3

，0），…（15分）
當y₀=0時，直線MN即x=-2

2

，此時l′為x軸亦過點（-

4 2

3

，0）；
綜上所述，l′恒過定點（-

4 2

3

，0）．          …（16分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查點差法的運用，考查分類討論的數學思想，正確運用點差法是解題的關鍵．