Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=1，k∈R且，設(shè)F（x）=f（x）+（k-1）lnx，求函數(shù)F（x）在上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)可得
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式，即恒成立
因?yàn)楫?dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，的最大值為1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）
（Ⅱ）a=1時(shí)，，
所以，…
（1）若k=0，則，在上，恒有F'（x）＜0，所以F（x）在上單調(diào)遞減
∴，
（2）k≠0時(shí)，
（i）若k＜0，在上，恒有，所以F（x）在上單調(diào)遞減
∴，

（ii）k＞0時(shí)，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/221761.png' />，所以，所以，所以F（x）在上單調(diào)遞減
∴，
綜上所述：當(dāng)k=0時(shí)，，F(xiàn)（x）_max=e-1；當(dāng)k≠0且時(shí)，F(xiàn)（x）_max=e-k-1，

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可得x∈[1，+∞）時(shí)，不等式，即恒成立，求出右邊函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）a=1時(shí)，，分類討論：（1）若k=0，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞減；（2）k≠0時(shí)，，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)，恰當(dāng)分類是關(guān)鍵．