已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=
6
．點F，E分別是邊A1C1和側(cè)棱BB1的中點．
（1）證明：AC⊥平面BEF；
（2）求三棱錐F-AEC的體積．
考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AC⊥平面BEF；
（2）根據(jù)三棱錐的條件公式，即可求三棱錐F-AEC的體積．
解答： 證明：（1）取AC的中點G，連接FG，BG，則有EB∥C1C∥FG，
∴平面BEF與平面EBGF共面，
∴FG⊥AC，而在正三角形ABC中，G是AC的中點，∴BG⊥AC，
又FG∩BG=G，∴AC⊥平面EBGF，即AC⊥平面BEF．
（2）設(shè)點E到平面FAC的距離為h，點B到平面FAC的距離為d，
由EB∥FG，得EB∥平面FAC，∴d=h，
又平面A1ACC1⊥平面ABC，BG⊥AC，∴BG⊥平面FAC，
在正三角形ABC中，AB=2，∴BG=
3
，即h=
3
，
∵S△FAB=
1
2
FG•AC=
6

∴VF-AEC=VE-FAC=
1
3
h=
1
3
×
6
×
3
=
2
．
點評：本題主要考查線面垂直的判斷以及三棱錐的體積的計算，要求熟練掌握空間線面垂直的判定定理和三棱錐的體積公式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

i是虛數(shù)單位，i+
1
i
的值等于（　　）
A、0B、2iC、2D、-2i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖（1），在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BE=BC，AE⊥BE，點M為CE上一點，且BM⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥BC；
（Ⅱ）若點N為線段AB的中點，求證：MN∥平面ADE；
（Ⅲ）若BE=4，CE=4
2
，且二面角A-BC-E的大小為45°，如圖（2），試問棱DE上是否存在一點P，使得BP與平面ABE所成的角為30°？若存在，求PE的長度；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log2（4x+a），g（x）=x，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）若h（x）是偶函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程h（x）=0有解，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AA1=2CD=2，點P為棱CC1的中點．
（Ⅰ）求證：D1P∥平面A1BC；
（Ⅱ）求證：D1P⊥平面AB1D；
（Ⅲ）求異面直線A1C與D1P所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
ax3+
1
2
bx2+（1-2a）x，a，b∈R，a≠0．
（1）若b=4a，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）與x軸相切于異于原點的一點，且f（x）的極小值為-
4
3
a，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求不超過（
3
+
2
）6的最大整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A做平面A1BD的垂線，垂足為H，AH
 
平面CB1D1．

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