已知函數(shù)f(x)=log2(4x+a),g(x)=x,設(shè)h(x)=f(x)-g(x)
(Ⅰ)若h(x)是偶函數(shù),求a的值;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程h(x)=0有解,求a的取值范圍.
考點(diǎn):對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)根據(jù)h(x)是偶函數(shù),得到h(-x)=h(x)成立,建立方程關(guān)系即可求a的值;
(Ⅱ)根據(jù)h(x)=0,將對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程,利用換元法,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),
解答: 解:(I)∵f(x)=log2(4x+a),g(x)=x,
∴h(x)=f(x)-g(x)=log2(4x+a)-x,
∵h(yuǎn)(x)是偶函數(shù)
∴h(-x)=h(x)成立,
即log2(4-x+a)+x=log2(4x+a)-x,恒成立,
整理得log2
4x+a
4-x+a
=2x,
∴4x+a=(4-x+a)•4x=1+a•4x
即a=1.
(II)由題意得:關(guān)于x的方程h(x)=0有解,
即log2(4x+a)=x有解,
即4x+a=2x有解,令2x=t,t>0,
∴a=-t2+t=-(t-
1
2
2+
1
4
1
4
,
即a的取值范圍為(-∞,
1
4
].
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,以及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),要求熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若sin(α+
π
2
)=
1
2
,則cos2α=( 。
A、
3
2
B、-
3
2
C、
1
2
D、-
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinax(a>0)的最小正周期為π,為了得到g(x)=sin(ax+
π
3
)的圖象,只要將y=f(x)的圖象(  )
A、向左平移
π
3
個(gè)單位長度
B、向左平移
π
6
個(gè)單位長度
C、向右平移
π
3
個(gè)單位長度
D、向右平移
π
6
個(gè)單位長度

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側(cè)面SAD為正三角形,且垂直于底面ABCD.
(1)求四棱錐S-ABCD的體積;
(2)在邊CD上是否存在一點(diǎn)E,使得SB⊥AE?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某班同學(xué)進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測試,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的前三個(gè)小組的頻率分別是0.1,0.3,0.4,且第一小組的頻數(shù)是5.
(Ⅰ)求第四小組的頻率和本班學(xué)生人數(shù);
(Ⅱ)在這次測試中,全班成績的中位數(shù)會落在第幾小組內(nèi)?
(Ⅲ)若本次測試成績達(dá)到100分為優(yōu)秀,試估計(jì)本班優(yōu)秀率是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a,b,c為三角形的三邊長,且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,試確定這個(gè)三角形的形狀.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=
6
.點(diǎn)F,E分別是邊A1C1和側(cè)棱BB1的中點(diǎn).
(1)證明:AC⊥平面BEF;
(2)求三棱錐F-AEC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a,b,c,d均為自然數(shù),且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,首項(xiàng)a1=3,且a1、a4、a13成等比數(shù)列,設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N+).
(1)求an和Sn;
(2)若bn=
an(n≤4且n∈N+)
1
Sn
(n≥5且n∈N+)
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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