已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,首項a1=3,且a1、a4、a13成等比數(shù)列,設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N+).
(1)求an和Sn;
(2)若bn=
an(n≤4且n∈N+)
1
Sn
(n≥5且n∈N+)
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn
考點:數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由a1、a4、a13成等比數(shù)列可得關(guān)于d的方程,解出d,利用等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式可得結(jié)果;
(2)n≤4時,Tn=Sn;n≥5時,利用裂項相消法可求;
解答: 解:(1)∵{an}是等差數(shù)列,a1=3,公差為d,
∴a4=3+3d,a13=3+12d,
∵a1、a4、a13成等比數(shù)列,
∴(3+3d)2=3(3+12d),
整理得d2-2d=0,∵差d≠0,∴d=2,
∴an=3+(n-1)×2=2n+1,Sn=
n(3+2n+1)
2
=n(n+2).
(2)當(dāng)n≤4時,Tn=Sn=n(n+2).
當(dāng)n≥5時,Tn=T4+[
1
5×7
+
1
6×8
+
1
7×9
+…+
1
(n-1)(n+1)
+
1
n(n+2)
]
=24+
1
2
[(
1
5
-
1
7
)+(
1
6
-
1
8
)+(
1
7
-
1
9
)+…+(
1
n-1
-
1
n+1
)+(
1
n
-
1
n+2
)]
=24+
1
2
1
5
+
1
6
-
1
n+1
-
1
n+2

=24
11
60
-
2n+3
2(n+1)(n+2)
,
Tn=
n(n+2),(n≤4,且n∈N+)
24
11
60
-
2n+3
2(n+1)(n+2)
,(n≥5且n∈N+)
點評:該題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式,裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容,要熟練掌握.
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3
+
2
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32
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34
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3
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amx-mx2
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3
2
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1
x
+
1
y
+2005)
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