Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面SAD為正三角形，且垂直于底面ABCD．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）在邊CD上是否存在一點E，使得SB⊥AE？請說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）過點S作SF⊥AD，F(xiàn)為垂足，可得SF⊥底面ABCD，利用錐體的體積公式，即可求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）在邊CD上存在一點E，使得SB⊥AE，取邊CD的中點E，連接AE、BF交于O，證明AE⊥BF，可得AE⊥平面SBF，即可證明SB⊥AE．

解答： 解：（1）過點S作SF⊥AD，F(xiàn)為垂足．
因為側(cè)面SAD垂直于底面ABCD，
所以SF⊥底面ABCD．
即SF為四棱錐S-ABCD的高．…（1分）
又側(cè)面SAD為正三角形，且邊長為a，
所以SF=

3

2

a．…（2分）
由此，VS-ABCD=

1

3

•AB•CD•SF=

1

3

×a×a×

3

2

a=

3

6

a3．…（4分）
所以四棱錐S-ABCD的體積為

3

6

a3．…（5分）
（2）在邊CD上存在一點E，使得SB⊥AE．…（6分）
取邊CD的中點E，連接AE、BF交于O．…（7分）
因為E、F分別為正方形ABCD的邊CD、AD的中點，
所以△ADE和△BAF為全等的直角三角形，且∠AFB=∠DEA．…（8分）
而∠DEA+∠EAD=90°，所以∠AFB+∠EAD=90°，即∠AOF=90°．
所以AE⊥BF．…（10分）
又因為SF⊥底面ABCD，所以SF⊥AE，即AE⊥平面SBF，…（11分）
所以SB⊥AE．…（12分）

點評：本題考查錐體體積的計算，考查線面垂直的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．