Question

過橢圓C：

x2

25

+

y2

16

=1的右焦點F作直線交橢圓C于A、B兩點，已知AB=8，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先由橢圓方程求出右焦點F的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法給出AB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，最后利用韋達(dá)定理、弦長公式求出直線的斜率，注意單獨驗證斜率不存在的情況．

解答： 解：

x2

25

+

y2

16

=1得a²=25，b²=16，
∴c=

a2-b2

=3，∴F（3，0），
對于直線AB，當(dāng)AB⊥x軸時，將x=3代入橢圓方程得y=

16

5

或-

16

5

，
∴|AB|=

32

5

≠8，∴AB不垂直于x軸，
設(shè)直線AB方程為y=k（x-3），代入橢圓方程整理得
（16+25k²）x²-150k²x+225k²-400=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

150k2

16+25k2

，x₁x₂=

225k2-400

16+25k2

，
∴|AB|=

1+k2

( 150k2 16+25k2 )2-4× 225k2-400 16+25k2

=8，
化簡后得k2=

4

5

，∴k=-

2 5

5

或

2 5

5

，
∴AB的方程為2

5

x-5y-6

5

=0或2

5

x+5y-6

5

=0．

點評：本題重點考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，一般是將直線方程代入橢圓方程消去y（或x），得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，然后進(jìn)一步求解；本題是借助韋達(dá)定理、弦長公式構(gòu)造出關(guān)于k的方程求解，計算量較大，需在計算時認(rèn)真、細(xì)心．