Question

已知（1+m

x

）ⁿ（m是正實數）的展開式的二項式系數之和為256，展開式中含x項的系數為112．
（1）求m，n的值；
（2）求展開式中奇數項的二項式系數之和；
（3）若（x+m）ⁿ展開式中系數最大項只有第6項和第7項，求m的取值情況．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：（1）由題意可得 2ⁿ=256，解得n=8，可得的展開式含x項的系數為

C

2 8

•m²=112，由此求得m的值．
（2）展開式中奇數項的二項式系數之和為

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

，計算求得結果．
（3）設第r+1項系數最大，則由

C r 8 mr≥ C r-1 8 mr-1 C r 8 mr≥ C r+1 8 mr+1.

可得

8m-1

m+1

≤r≤

9m

m+1

．再根據只有第6項和第7項系數最大，所以

4＜ 8m-1 m+1 ≤5 6≤ 9m m+1 ＜7.

，從而求得m的值．

解答： 解：（1）由題意可得 2ⁿ=256，解得n=8．故（1+m

x

）⁸（m是正實數）的展開式含x項的系數為 

C

2 8

•m²=112，
解得m=2，或m=-2（舍去）．
故m，n的值分別為2，8．
（2）展開式中奇數項的二項式系數之和為

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

=128．
（3）易知m＞0，設第r+1項系數最大．-
則

C r 8 mr≥ C r-1 8 mr-1 C r 8 mr≥ C r+1 8 mr+1.

，化簡可得

8m-1

m+1

≤r≤

9m

m+1

．
由于只有第6項和第7項系數最大，所以

4＜ 8m-1 m+1 ≤5 6≤ 9m m+1 ＜7.

，即

5 4 ＜m≤2 2≤m＜ 7 2 .

，
所以m只能等于2．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于基礎題．