【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓的兩焦點(diǎn)分別為雙曲線
的頂點(diǎn),直線
與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),且
,點(diǎn)
是橢圓
上異于
、
的任意一點(diǎn),直線
外的點(diǎn)
滿足
,
.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)試確定點(diǎn)的坐標(biāo),使得
的面積最大,并求出最大面積.
【答案】(1)點(diǎn)的軌跡是橢圓
除去四個(gè)點(diǎn)
,
,
,
,其方程為
(
,
);(2)
,點(diǎn)
的坐標(biāo)為
或
.
【解析】試題分析:(1)由已知雙曲線的頂點(diǎn)可得橢圓焦點(diǎn),再由橢圓過定點(diǎn)可解得參數(shù)的值,得到橢圓方程;由已知條件設(shè)出點(diǎn)
的坐標(biāo),再由已知向量積為零可得兩坐標(biāo)值的關(guān)系,再由點(diǎn)
在橢圓上,分析可得點(diǎn)
的軌跡方程;
(3)由點(diǎn)到直線距離可得三角形面積表達(dá)式,由均值不等式可得面積最大值及此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)。
試題解析:
(1)由的焦點(diǎn)為
的頂點(diǎn),得
的焦點(diǎn)
,
.
令的方程為
,因?yàn)?/span>
在
上,所以
.
于是由解得
,
,所以
的方程為
.
由直線與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),知
、
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以
.
令點(diǎn),
,則
,
,
,
.
于是由,
,得
即
兩式相乘得.
又因?yàn)辄c(diǎn)在
上,所以
,即
,
代入中,得
.
當(dāng)時(shí),得
;
當(dāng)時(shí),則點(diǎn)
或
,此時(shí)
或
,也滿足方程
.
若點(diǎn)與點(diǎn)
重合,即
時(shí),由
解得
或
.
若點(diǎn)與點(diǎn)
重合時(shí),同理可得
或
.
綜上,點(diǎn)的軌跡是橢圓
除去四個(gè)點(diǎn)
,
,
,
,其方程為
(
,
).
(2)因?yàn)辄c(diǎn)到直線
的距離
,
,
所以的面積
.
當(dāng)且僅當(dāng),即
或
,
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為
或
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓
的中心是原點(diǎn)
,離心率為雙曲線
離心率的一半,直線
被橢圓
截得的線段長為
.直線
:
與
軸交于點(diǎn)
,與橢圓
交于
兩個(gè)相異點(diǎn),且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使
?若存在,求
的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù),求證:當(dāng)
時(shí),
;
(3)對(duì)任何實(shí)數(shù),
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx+2,記函數(shù)f(x)的最小正周期為β,向量a=(2,cosα),b=(1,tan(α+
))(0<α<
),且a·b=
.
(1)求f(x)在區(qū)間上的最值;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,對(duì)于任意的
都有
,設(shè)
時(shí),
.
(1)求;
(2)證明:對(duì)于任意的,
;
(3)當(dāng)時(shí),若不等式
在
上恒定成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是,并且經(jīng)過點(diǎn)
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線
經(jīng)過點(diǎn)
,且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)求證:當(dāng)時(shí),
;
(Ⅲ)若對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于二項(xiàng)式(x-1)2 013有下列命題:
(1)該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1;
(2)該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為C2 0136x2 007;
(3)該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1 007項(xiàng);
(4)當(dāng)x=2 014時(shí),(x-1)2 013除以2 014的余數(shù)是2 013.
其中正確命題有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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