Question

現(xiàn)有A，B兩個投資項目，投資兩項目所獲得利潤分別是P和Q（萬元），它們與投入資金x（萬元）的關系依次是：其中P與x平方根成正比，且當x為4（萬元）時P為1（萬元），又Q與x成正比，當x為4（萬元）時Q也是1（萬元）；某人甲有3萬元資金投資．
（Ⅰ）分別求出P，Q與x的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）請幫甲設計一個合理的投資方案，使其獲利最大，并求出最大利潤是多少？

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（I）設P，Q與x的比例系數(shù)分別是k₁，k₂，則P=k1

x

，Q=k₂x，根據(jù)當x為4（萬元）時，P、Q為1（萬元），可求出P，Q與x的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）甲投資到A，B兩項目的資金分別為x（萬元），（3-x）（萬元）（0≤x≤3），獲得利潤為y萬元，根據(jù)（I）可得利潤函數(shù)，利用配方法可求最大利潤．

解答： 解：（I）設P，Q與x的比例系數(shù)分別是k₁，k₂，則P=k1

x

，Q=k₂x且都過（4，1）…（1分）
所以：P=

x

2

(x≥0)…（2分），Q=

x

4

(x≥0)…（2分）
（Ⅱ）設甲投資到A，B兩項目的資金分別為x（萬元），（3-x）（萬元）（0≤x≤3），獲得利潤為y萬元…（1分）
由題意知：y=

x

2

+

3-x

4

=-

1

4

(

x

-1)2+1…（1分）
所以當

x

=1，即x=1時，y_max=1…（2分）
答：甲在A，B兩項上分別投入為1萬元和2萬元，此時利潤最大，最大利潤為1萬元..（1分）

點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生分析解決問題的能力，正確確定函數(shù)解析式是關鍵．