Question

已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+2

（a、b∈R）過已知點（1，-1）．
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）試證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)；若函數(shù)f（x）在區(qū)間[c，+∞）（其中c＞0）也是增函數(shù)，求c的最小值；
（Ⅲ）試討論這個函數(shù)的單調(diào)性，并求它的最大值、最小值，在給出的坐標(biāo)系（見答題卡）中畫出能體現(xiàn)主要特征的圖簡；
（Ⅳ）求不等式f(sinx-cosx)＜f((

3

-1)cosx)的解集．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)圖象的作法,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由f（0）=0，求得b=0．再由函數(shù)的圖象過已知點（1，-1）求得a=-3，從而求得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）當(dāng)x≥2時，由于f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

＞0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)．
令f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

=0，可得 c=

2

，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[

2

，+∞），由此求得c的最小值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得函數(shù)的最值．
（Ⅳ）（Ⅳ）因為sinx-cosx∈[-

2

，

2

]，(

3

-1)cosx∈[-

2

，

2

]，不等式化為化為sinx-cosx＞(

3

-1)cosx，即sinx＞

3

cosx，由此求得它的解集．

解答： 解：（Ⅰ）∵奇函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+2

（a、b∈R），由f（0）=0，求得b=0．
再由函數(shù)的圖象過已知點（1，-1），可得

a×1

1+2

=-1，求得a=-3，故f（x）=-

3x

x2+2

．
（Ⅱ）當(dāng)x≥2時，由于f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)．
令f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

=0，求得 c=

2

，或 c=-

2

（舍去）．
當(dāng)x＞

2

時，f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

＞0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[

2

，+∞）（其中c＞0）也是增函數(shù)．
再由函數(shù)f（x）在區(qū)間[c，+∞）也是增函數(shù)，可得c≥

2

，即c的最小值為

2

．
（Ⅲ）由（2）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[

2

，+∞)是增函數(shù)，由奇函數(shù)可知道，函數(shù)f（x）
在區(qū)間(-∞，-

2

]也是增函數(shù)．
在區(qū)間[-

2

，

2

]上，由于f′（x）=

3x2-6

(x2+2)2

＜0，所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

2

，

2

]是減函數(shù)．
這樣，就有fmax(x)=f(-

2

)=

3 2

4

，fmin(x)=f(

2

)=-

3 2

4

，圖象如下所示．   
（Ⅳ）因為sinx-cosx∈[-

2

，

2

]，(

3

-1)cosx∈[-

2

，

2

]，
而由（Ⅲ）知道函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

2

，

2

]是減函數(shù)，
這樣，不等式f(sinx-cosx)＜f((

3

-1)cosx)可以化為sinx-cosx＞(

3

-1)cosx，
即sinx＞

3

cosx．
求得它的解集為{x|

π

3

+2kπ＜x＜

4π

3

+2kπ，k∈Z}．

點評：本題主要考查函數(shù)的最值及其幾何意義，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的
單調(diào)性求函數(shù)的最值，兩角和差的正弦公式，三角不等式的解法，屬于中檔題．