Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E是BC中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AEC₁；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一點M，滿足B₁M⊥C₁E，求AM的長；
（Ⅲ）求平面AEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）連接A₁C交AC₁于點O，連接EO，由ACC₁A₁為正方形，知O為A₁C中點，由E為CB中點，知EO∥A₁B，由此能夠證明A₁B∥平面AEC₁．
（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能得到棱AA₁上存在一點M，滿足B₁M⊥C₁E，并能求出AM的長
（Ⅲ）由

AE

=（1，1，0），

AC1

=（0，2，2），求出平面AEC₁的法向量為

n

=（1，-1，1），利用向量法能求出平面AEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值．

解答： （本小題滿分14分）
（I）證明：連接A₁C交AC₁于點O，連接EO，
因為ACC₁A₁為正方形，所以O(shè)為A₁C中點，
又E為CB中點，所以EO為△A₁BC的中位線，
所以EO∥A₁B，…（2分）
又∵EO?平面AEC₁，A₁B?平面AEC₁，
所以A₁B∥平面AEC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸建立空間直角坐標系
所以A（0，0，0），A₁（0，0，2），B（2，0，0），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），E（1，1，0），
設(shè)M（0，0，m），0≤m≤2，所以

B1M

=(-2，0，m-2)，

C1E

=（1，-1，-2），
因為B₁M⊥C₁E，所以

B1M

•

C1E

=0，解得m=1，所以AM=1．…（8分）
（Ⅲ）解：因為

AE

=（1，1，0），

AC1

=（0，2，2），
設(shè)平面AEC₁的法向量為

n

=（x，y，z），
則有

AE • n =0 AC1 • n =0

，得

x+y=0 y+z=0

，
令y=-1，則x=1，z=1，所以取

n

=（1，-1，1），…（10分）
因為AC⊥平面ABB₁A₁，取平面ABB₁A₁的法向量為

AC

=（0，2，0），…（11分）
所以cos＜

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC |•| n |

=-

3

3

，…（13分）
平面AEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值為

3

3

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的點的判斷，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．