Question

已知

x2-2x+2

2x-2

≥a對任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：

x2-2x+2

2x-2

≥a對任意的x∈（1，+∞）恒成立?當(dāng)x∈（1，+∞）時，a≤(

x2-2x+2

2x-2

)min，構(gòu)造函數(shù)f（x）=

x2-2x+2

2x-2

=

1

2

[（x-1）+

1

x-1

]，利用基本不等式即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：

x2-2x+2

2x-2

≥a對任意的x∈（1，+∞）恒成立?當(dāng)x∈（1，+∞）時，a≤(

x2-2x+2

2x-2

)min，
令f（x）=

x2-2x+2

2x-2

，
則f（x）=

(x-1)2+1

2(x-1)

=

1

2

[（x-1）+

1

x-1

]，
∵x∈（1，+∞），
∴x-1＞0，

1

x-1

＞0，
∴（x-1）+

1

x-1

≥2

(x-1)• 1 x-1

=2（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取“=”），
∴f（x）≥

1

2

×2=1，即f（x）_min=1，
∴a≤1．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想的綜合應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．