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以橢圓的一個頂點為直角頂點作此橢圓的內接等腰直角三角形，試問：（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫出一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在，說明理由。（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個？

(1)存在，與；（2）存在，最多有個.

解析試題分析：（1）這樣的等腰直角三角形存在．直線y=x+1與直線y=-x+1滿足題意；
（2）設出CA所在的直線方程，代入橢圓的方程并整理，求出|CA|，同理求出|CB|，由|CA|=|CB|得（k-1）[k2-（a2-1）k+1]=0，討論方程根的情況，即可得出結論．
試題解析：（1）這樣的等腰直角三角形存在。因為直線與直線垂直，且關于軸對稱，所以直線與直線是一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。
（2）設兩點分別居于軸的左，右兩側，設的斜率為，則，所在的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，或，的橫坐標為，，
同理可得，所以由得
，，
當時，（1）的解是無實數解；
當時，（1）的解是的解也是；當時，（1）的解除外，方程有兩個不相等的正根，且都不等于，故（1）有 個正根。
所以符合題意的等腰直角三角形一定存在，最多有個。
考點：(1)橢圓的性質；（2）直線與圓錐曲線的應用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.
(1)求圓心P的軌跡方程;
(2)若P點到直線y=x的距離為,求圓P的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上. 設動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點；
（3）在坐標平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓+=1(a>b>0),點P（a,a）在橢圓上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設A為橢圓的左頂點,O為坐標原點,若點Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標原點O，且恰好與直線相切.
(1)求圓的標準方程；
(2)設點A為圓上一動點，AN軸于N，若動點Q滿足（其中m為非零常數），試求動點的軌跡方程.
(3)在（2）的結論下，當時，得到動點Q的軌跡曲線C，與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點，求面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓過點P(1, )，其左、右焦點分別為F1,F2,離心率e＝, M, N是直線x＝4上的兩個動點，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為F(,0),其短軸上的一個端點到F的距離為.
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”的方程.
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過動點P作直線l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點,且l1,l2分別交其“準圓”于點M,N.
①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時,求l1,l2的方程;
②求證:|MN|為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，直線，拋物線，已知點在拋物線上，且拋物線上的點到直線的距離的最小值為．

（1）求直線及拋物線的方程；
（2）過點的任一直線（不經過點）與拋物線交于、兩點，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，， ．問：是否存在實數，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

若橢圓＝1的焦距為2，求橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和．

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