如圖，橢圓過點P(1, )，其左、右焦點分別為F1,F2,離心率e＝, M, N是直線x＝4上的兩個動點，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？

（1）＝1；（2）；（3）(4－，0)和(4＋，0)  .

解析試題分析：（1）因為：，且過點P(1, )，列出關(guān)于a，b的方程，解得a，b．最后寫出橢圓方程即可；（2）設(shè)點M（4，m），N（4，n）寫出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積得到mn=-15，又|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥，結(jié)合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圓心C的坐標(biāo)和半徑得出圓C的方程，再令y=0，得x2-8x+1=0從而得出圓C過定點．
試題解析：（1）由已知可得
∴橢圓的方程為＝1                     4分
（2）設(shè)M（4，m），N（4，n），∵F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)
＝(5，m)，＝(3，n)，由＝0mn＝－15＜0       6分
∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥2  ∴|MN|的最小值為2    10分
（3）以MN為直徑的圓C的方程為：(x－4)2＋(y－)＝()2     12分
令y＝0得(x－4)2＝－＝－mn＝15x＝4±
所以圓C過定點(4－，0)和(4＋，0)                          14分 
考點：1.圓與圓錐曲線的綜合；2.橢圓的簡單性質(zhì)．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

是否同時存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明理由．
（1）焦點在軸上的雙曲線漸近線方程為；
（2）點到雙曲線上動點的距離最小值為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個焦點分別為F1,F2,上頂點A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長為6.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(2)O為坐標(biāo)原點,P是直線F1A上的一個動點,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時點P的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

以橢圓的一個頂點為直角頂點作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，試問：（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫出一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在，說明理由。（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上.設(shè)動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）試判斷圓與軸的位置關(guān)系；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓（＞＞0）的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標(biāo)為（ ，0），點（0，）在線段的垂直平分線上，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點A.

(1)求實數(shù)b的值;
(2)求以點A為圓心,且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,橢圓C:+=1的焦點在x軸上,左右頂點分別為A1,A,上頂點為B,拋物線C1,C2分別以A,B為焦點,其頂點均為坐標(biāo)原點O,C1與C2相交于直線y=x上一點P.

(1)求橢圓C及拋物線C1,C2的方程.
(2)若動直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點M,N,已知點Q(-,0),求·的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，離心率，其一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，若拋物線與直線相切．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)點在橢圓上運動時，設(shè)動點的運動軌跡為．若點滿足：，其中是上的點，直線與的斜率之積為，試說明：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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