Question

在平面直角坐標系xoy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x-

3

y=4相切．
（1）求圓O的方程；
（2）已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，判斷它與圓O的位置關(guān)系，若相切求切線方程；若相交求相交弦所在的直線方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）以O(shè)為圓心的圓與直線x-

3

y=4相切．則圓心到直線的距離等于半徑．從而可得到圓的標準方程．
（2）將圓C：x²+y²+2x-4y+3=0的方程化為標準方程．根據(jù)兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系即可判斷兩圓的位置關(guān)系為相交．兩圓方程相減可得相交弦所在的直線方程．

解答： 解：（1）∵圓O與直線x-

3

y=4相切，
∴圓心到直線的距離d=r．
∴r=

4

4

=2．
∴圓O的方程為：x²+y²=4．
（2）由（1）知，
圓心O（0，0），半徑r₁=2．
將圓C：x²+y²+2x-4y+3=0化為標準方程，
得（x+1）²+（y-2）²=2．
∴圓心C（-1，2），半徑r2=

2

．
則圓心距|OC|=

5

．
r1+r2=2+

2

，
r1-r2=2-

2

．
∴2-

2

＜

5

＜2+

2

．
∴圓O與圓C相交．
圓O的方程x²+y²=4與圓C的方程x²+y²+2x-4y+3=0相減，
得2x-4y+7=0．
∴相交弦所在的直線方程為：2x-4y+7=0．

點評：本題考查直線與圓相切的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，相交弦所在的直線方程等知識，屬于中檔題．