Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f″（x）是函數y=f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學發(fā)現(xiàn)：“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件．
（1）函數f（x）=x³-3x²+3x的對稱中心為

 

．
（2）若函數g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

，則g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=

 

．

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：（1）根據函數f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函數f（x）=x³-3x²+3x的對稱中心，
（2）求出原函數的導函數，再求出導函數的導函數，由導函數的導函數等于0求出x的值，

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x³-3x²+3x，∴f′（x）=3x² -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函數f（x）=x³-3x²+3x對稱中心為（1，2），
（2）依題意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=

1

2

，
∴f（

1

2

）=1，
∴函數g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

對稱中心為（

1

2

，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴g（

1

2014

）+g（

2013

2014

）=g（

2

2014

）+g（

2012

2014

）=…=2f（

1007

2014

）=2，
∴g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=2013
故答案為：（1）（1，1）；（2）2013．

點評：本題主要考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查化簡計算能力，函數的對稱性的應用，屬于中檔題．