Question

（本題滿分15分）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且直線PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E為CD的中點(diǎn)，.

（Ⅰ）求證：直線EA⊥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AE與平面PCD所成角的正切值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：證明線面垂直只需尋求線線垂直，由于底面為菱形，，則為等邊三角形，E為CD中點(diǎn)，所以，則，又直線PA⊥平面ABCD，則，根據(jù)線面垂直判定定理得證；連接PE，過A作，垂足為H，由平面PAE，可見平面平面，兩平面的交線為PE，則平面，這時我們看到直線AE與平面PCD所成角，在直角三角形中，求出正切值即可.

試題解析：（1）證明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2∴△AED是以∠AED為直角的Rt△ 又∵AB∥CD, ∴EA⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,∴EA⊥平面PAB,

（2）如圖所示，連結(jié)PE，過A點(diǎn)作AH⊥PE于H點(diǎn)，∵CD⊥EA, CD⊥PA，∴CD⊥平面PAE,∴AH⊥CD，又AH⊥PE，∴AH⊥平面PCD，∴∠AEP為直線AE與平面PCD所成角，在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=

∴

考點(diǎn)：線面垂直的證明和求線面角；