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2.已知命題p:對(duì)?x∈R,sinx+cosx<m恒成立,命題q:已知f(x)=2-1x(x>0),存在實(shí)數(shù)a,b,使定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb)
(1)命題p為真,求m的范圍;
(2)命題q為真,求m的范圍;
(3)若p∧q為假,p∨q為真,求m的范圍.

分析 (1)求出sinx+cosx的最大值,可得命題p為真時(shí)m的范圍;
(2)命題q為真,即2-1x=mx有兩個(gè)不等的正根,進(jìn)而可得m的范圍;
(3)若p∧q為假,p∨q為真,則p,q一真一假,進(jìn)而可得m的范圍.

解答 解:(1)sinx+cosx=2sin(x+\frac{π}{4})∈[-\sqrt{2},\sqrt{2}],
若命題p:對(duì)?x∈R,sinx+cosx<m恒成立為真命題,
則m>\sqrt{2}
(2)f(x)=2-\frac{1}{x}(x>0)為增函數(shù),
若存在實(shí)數(shù)a,b,使定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb)
則2-\frac{1}{x}=mx有兩個(gè)不等的正根,
\left\{\begin{array}{l}4-4m>0\\ m>0\end{array}\right.
解得:0<m<1,
故命題q為真時(shí),0<m<1,
(3)若p∧q為假,p∨q為真,則p,q一真一假,
\left\{\begin{array}{l}m>\sqrt{2}\\ m≤0,或m≥1\end{array}\right.,或\left\{\begin{array}{l}m≤\sqrt{2}\\ 0<m<1\end{array}\right.
解得:0<m<1,或m>\sqrt{2}

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了復(fù)合命題,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,函數(shù)的圖象和性質(zhì),難度中檔.

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