【題目】中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受．如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一扇窗中的一格，呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)30 cm，寬26 cm，其內(nèi)部窗芯（不含長(zhǎng)方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱．設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為x cm和y cm，窗芯所需條形木料的長(zhǎng)度之和為L．

（1）試用x，y表示L；

（2）如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2 cm，每個(gè)菱形的面積為130 cm2，那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形木料（不計(jì)榫卯及其它損耗）？

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）由條件可先求水平方向每根支條長(zhǎng)，豎直方向每根支條長(zhǎng)為，因此所需木料的長(zhǎng)度之和L=（2）先確定范圍由可得，再由面積為130 cm2，得，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，令，則在上為增函數(shù)，解得L有最小值．

試題解析：（1）由題意，水平方向每根支條長(zhǎng)為cm，豎直方向每根支條長(zhǎng)為cm，菱形的邊長(zhǎng)為cm．從而，所需木料的長(zhǎng)度之和L=cm．

（2）由題意，，即，又由可得．所以．

令，其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以可得．則

=．

因?yàn)楹瘮?shù)和在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)L有最小值．答：做這樣一個(gè)窗芯至少需要cm長(zhǎng)的條形木料．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，試問(wèn)：這樣的是否存在，若存在，請(qǐng)求出的范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC．該曲線段是函數(shù)時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B賽道的中間部分為長(zhǎng)千米的直線跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧DE．

(1)求的值和∠DOE的大小；

(2)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧DE上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)， 的面積為，橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為.

（1）若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處，求此時(shí)切線的方程；

（2）求滿足的點(diǎn)的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知及．

（1）分別求、的定義域，并求的值；

（2）求的最小值并說(shuō)明理由；

（3）若，，，是否存在滿足下列條件的正數(shù)，使得對(duì)于任意的正數(shù)，、、都可以成為某個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)？若存在，則求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）若函數(shù)f（x）在處有極值，求函數(shù)f（x）的最大值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）若，，求在上的最小值；

（3）若，，有三個(gè)不同實(shí)根，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列中，，且點(diǎn)（）在直線上.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意的，將數(shù)列落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求的通項(xiàng)公式；

（3）對(duì)于（2）中，記，數(shù)列前項(xiàng)和為，求使等式成立的所有正整數(shù)、的值.

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