Question

【題目】是否存在常數(shù)a，b，c，使等式N+都成立，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

令n=1得①， 令n=2得②，

令n=3得③， 解①、②、③得a=3，b=11，c=10，記原式的左邊為Sn，用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，（*）式都成立．

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，由上述知，（*）成立．

（2）假設(shè)n＝k（k≥1）時(shí)，（*）成立，

即122+232+…+k（k+1）2

（3k2+11k+10），

那么當(dāng)n＝k+1時(shí)，

122+232+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2

（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2

（3k2+5k+12k+24）

[3（k+1）2+11（k+1）+10]，

由此可知，當(dāng)n＝k+1時(shí)，（*）式也成立．

綜上所述，當(dāng)a＝3，b＝11，c＝10時(shí)題設(shè)的等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立．