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已知：如圖，圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為 $數(shù)學公式$ 的橢圓，其左焦點為F，若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的左準線l于點Q．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點P的坐標為（1，1），
①求線段PQ的長；
②求證：直線PQ與圓O相切．

（1）解：設橢圓C的標準方程為 $\text{[math]}$
因為圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，所以|AB|=2 $\text{[math]}$
∵曲線C是以AB為長軸，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵橢圓的離心率為 $\text{[math]}$ ，
∴c=1，
∴ $\text{[math]}$
∴此橢圓的標準方程為 $\text{[math]}$
（2）①解：由（1）知橢圓的左焦點F（-1，0），而點P（1，1）
所以直線PF的方程為 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
直線QO的方程為y=-2x，而橢圓的左準線方程為x=-2，所以點Q的坐標為（-2，4）
因此|PQ|=3 $\text{[math]}$
②證明：直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0
而點O到直線PQ的距離為d= $\text{[math]}$
所以直線PQ與圓O相切
分析：（1）因為 $\text{[math]}$ ，所以c=1，由此能得到橢圓C的標準方程；
（2）①根據(jù)過原點O作直線PF的垂線交橢圓的左準線l于點Q，可求Q的坐標，從而可求線段PQ的長；
②直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0，利用點O到直線PQ的距離，可證直線PQ與圓O相切．
點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，解題時要認真審題，合理運用橢圓的幾何性質(zhì)．

練習冊系列答案

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如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=

．
（1）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求V（x）的表達式．

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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量α2=

-1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

)，直線l過點A且傾斜角為

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數(shù)，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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