已知：如圖，圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為
2
2
的橢圓，其左焦點(diǎn)為F，若P是圓O上一點(diǎn)，連接PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的左準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），
①求線段PQ的長(zhǎng)；
②求證：直線PQ與圓O相切．
分析：（1）因?yàn)?span id="c3rzza3" class="MathJye">a=
2
，e=
2
2
，所以c=1，由此能得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①根據(jù)過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的左準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，可求Q的坐標(biāo)，從而可求線段PQ的長(zhǎng)；
②直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0，利用點(diǎn)O到直線PQ的距離，可證直線PQ與圓O相切．
解答：（1）解：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)
因?yàn)閳AO：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，所以|AB|=2
2

∵曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，∴2a=2
2
，∴a=
2

∵橢圓的離心率為
2
2
，
∴c=1，
∴b=
a2-c2
=1
∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1
（2）①解：由（1）知橢圓的左焦點(diǎn)F（-1，0），而點(diǎn)P（1，1）
所以直線PF的方程為
y-0
1-0
=
x+1
1+1
，即y=
1
2
(x+1)
直線QO的方程為y=-2x，而橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，4）
因此|PQ|=3
2

②證明：直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0
而點(diǎn)O到直線PQ的距離為d=
2
2
=
2
=r
所以直線PQ與圓O相切
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=
3
2
．
（1）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求V（x）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點(diǎn)，BC=4，過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，求線段AE的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α2=
1
-1
，求矩陣A的逆矩陣A-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度），已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(4，
π
2
)，直線l過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為
π
4
，圓C以點(diǎn)B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求證：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知：如圖，圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為數(shù)學(xué)公式的橢圓，其左焦點(diǎn)為F，若P是圓O上一點(diǎn)，連接PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的左準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），
①求線段PQ的長(zhǎng)；
②求證：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：江蘇省期末題 題型：解答題

已知：如圖，圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，其左焦點(diǎn)為F，若P是圓O上一點(diǎn)，連接PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的左準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），①求線段PQ的長(zhǎng)；②求證：直線PQ與圓O相切．

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