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16.已知函數(shù)f(x)=3x,f(a+2)=27,函數(shù)g(x)=λ•2ax-4x的定義域為[0,2].
(1)求a的值;
(2)若λ=2,試判斷函數(shù)g(x)在[0,2]上的單調(diào)性,并加以證明;
(3)若函數(shù)g(x)的最大值是13,求λ的值.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)表達式,結(jié)合題意得3a+2=27,利用指數(shù)的運算性質(zhì)可得實數(shù)a的值;
(2)利用單調(diào)性的定義證明即可;
(3)令2x=t,可得g(x)=h(t)=-(t-122+\frac{1}{4}{λ}^{2},其中t∈[1,4].再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進行分類討論,分別建立關(guān)于λ的方程,解之并加以檢驗,最后綜合可得函數(shù)g(x)的最大值是\frac{1}{3}時,實數(shù)λ的值\frac{4}{3}

解答 解:(1)27=3a+2=33,∴a=1.
(2)由(1)及λ=2得,g(x)=2•2x-4x
任取0≤x1<x2≤2,則x2-x1>0,
∴g(x2)-g(x1)=(2•{2^{x_2}}-{4^{x_2}})-(2•{2^{x_1}}-{4^{x_1}})=[2•{2^{x_2}}-{({2^{x_2}})^2}]-[2•{2^{x_1}}-{({2^{x_1}})^2}]
=2•({2^{x_2}}-{2^{x_1}})-[{({2^{x_2}})^2}-{({2^{x_1}})^2}]=({2^{x_2}}-{2^{x_1}})[2-({2^{x_2}}+{2^{x_1}})]
∵0≤x1<x2≤2,∴1≤{2^{x_1}}<{2^{x_2}}≤4,
({2^{x_2}}-{2^{x_1}})>0,{2^{x_2}}+{2^{x_1}}>2
∴2-({2^{x_2}}+{2^{x_1}})<0,
({2^{x_2}}-{2^{x_1}})[2-({2^{x_2}}+{2^{x_1}})]<0
即g(x2)-g(x1)<0,
即g(x1)>g(x2),
∴g(x)在[0,2]上是減函數(shù),
(3)設(shè)t=2x,∵0≤x≤2,
∴1≤2x≤4.
∴1≤t≤4.
y=-t2+λt=-{(t-\frac{λ}{2})^2}+\frac{λ^2}{4},1≤t≤4.
①當(dāng)\frac{λ}{2}<1,即λ<2時,ymax=λ-1=\frac{1}{3},∴λ=\frac{4}{3};
②當(dāng)1≤\frac{λ}{2}E≤4,即2≤λ≤8時,ymax=\frac{λ^2}{4}=\frac{1}{3},∴λ=\frac{{±2\sqrt{3}}}{3}∉[2,8](舍);
③當(dāng)\frac{λ}{2}>4,即λ>8時,ymax=-16+4λ=\frac{1}{3},∴λ=\frac{49}{12}<8(舍).
綜上λ=\frac{4}{3}

點評 本題給出指數(shù)函數(shù),求特殊函數(shù)值對應(yīng)的自變量并依此求“類二次函數(shù)”的最值問題.著重考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論等知識,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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1.9{\;}^{-\frac{3}{2}}}=( �。�
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②f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],則稱區(qū)間[a,b]是函數(shù)f(x)的“和諧區(qū)間”.
下列結(jié)論錯誤的是( �。�
A.函數(shù)f(x)=x2(x≥0)存在“和諧區(qū)間”B.函數(shù)f(x)=2x(x∈R)存在“和諧區(qū)間”
C.函數(shù)f(x)=\frac{1}{{x}^{2}}(x>0)不存在“和諧區(qū)間”D.函數(shù)f(x)=log2x(x>0)存在“和諧區(qū)間”

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