如圖，已知四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝2，AD＝2．

(1)求證：PB⊥AC；

(2)在線段PB上是否存在一點E，使得PB⊥平面ACE？若存在，請確定點E的位置，并證明；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　(1)證明：因為四邊形ABCD為正方形，

　　所以BD⊥AC．

　　因為PD⊥平面ABCD，

　　所以PD⊥AC．

　　因為BD∩PD＝D，

　　所以AC⊥平面PBD，

　　所以PB⊥AC．

　　(2)解：存在這樣的點E，使得PB⊥平面ACE，此時，點E在PB的四分之一分點處(靠近B點)．證明如下：

　　在Rt△PBD中，BD＝PD＝2，

　　所以△PBD為等腰直角三角形．

　　如上圖，設O為BD的中點，取PB的中點為H，連接DH，則DH⊥PB．

　　取E為線段PB上靠近點B的四分之一分點，

　　則E為BH的中點．

　　連接OE，因為O為BD的中點，

　　所以OE∥DH，所以OE⊥PB．

　　由(1)知PB⊥AC，

　　又因為AC∩OE＝O，

　　所以PB⊥平面ACE．

　　點評：開放性問題的作答一般是從待求的結論出發(fā)，探索所需條件，逐步分析，找到滿足的條件后，再以此條件為基礎完成證明．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，沿AC將△ABC折起，使點B到點P的位置，且平面PAC⊥平面ACD．
（I）證明：DC⊥平面APC；
（II）求棱錐A-PBC的高．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（幾何證明選講選做題）如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，直線MN切
⊙O于D，∠MDA=45°，則∠DCB=
135°
135°
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：已知四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，點E，F(xiàn)分別是線段PB，AD的中點
（1）求證：FE∥平面PCD；
（2）求異面直線DE與AB所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，沿AC將△ABC折起，使點B到點P的位置，且平面PAC⊥平面ACD．
（I）證明：DC⊥平面APC；
（II）求二面角B-AP-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BD=2，AC與BD交于E點，F(xiàn)是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面AFC；
（2）求多面體PABCF的體積．

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