Question

如圖，在△ABC中，AB=

2

3

AC，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，CD與BE相交于點(diǎn)P，
（1）若AB=2，四邊形ADPE的面積記為S（A），試用角A表示出S（A），并求S的最大值；
（2）若

BE

CD

＜t恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用重心的性質(zhì)和等底或等高的三角形的面積的比及三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用余弦定理和三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P是△ABC的重心，
∴S=S_△APD+S_△AEP=

1

3

S△ABC=

1

6

AB•AC•sinA=

1

6

×2×3×sinA=sinA．
當(dāng)A=

π

2

時(shí)，S取得最大值1．
（2）設(shè)AB=2x，AC=3x，

BE2

CD2

=

4x2+ 9x2 4 -2×2x× 3x 2 cosA

9x2+x2-2×x×3x×cosA

=

25-24cosA

40-24cosA

=1-

15

40-24cosA

，
∵A∈（0，π），∴cosA∈（-1，1），可得

1

4

＜

BE

CD

＜

7

8

，
若

BE

CD

＜t恒成立，則t≥

7

8

，
∴t的最小值為

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握重心的性質(zhì)、等底或等高的三角形的面積的比、三角函數(shù)的單調(diào)性、余弦定理是解題的關(guān)鍵．