Question

（1）設(shè)a＞0，b＞0，求證：a³+b³≥a²b+ab²；
（2）已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值及對(duì)應(yīng)的x、y值；
（3）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x²+4y²+9z²=36，求x+y+z的最大值及對(duì)應(yīng)的x、y、z值．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：計(jì)算題,證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用作差法，注意運(yùn)用因式分解，立方和公式和完全平方公式化簡(jiǎn)整理，即可得證；
（2）運(yùn)用1的代換，即有

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（2x+y），拆開整理，運(yùn)用基本不等式即可得到最小值，注意等號(hào)成立的條件；
（3）由柯西不等式得到：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2．代入條件，化簡(jiǎn)即可得到最大值，注意等號(hào)成立的條件：x=4y=9z．

解答： （1）證明：由于a＞0，b＞0，
則a³+b³-（a²b+ab²）=（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）
=（a+b）（a²-2ab+b²）=（a+b）（a-b）²≥0，
故a³+b³≥a²b+ab²；
（2）解：因?yàn)檎龜?shù)x、y滿足2x+y=1，

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（2x+y）=3+

y

x

+

2x

y

≥3+2

y x • 2x y

=3+2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=

2x

y

時(shí)取等號(hào)．  
由2x+y=1且當(dāng)

y

x

=

2x

y

，x，y＞0 得x=1-

2

2

，y=

2

-1，
所以當(dāng)x=1-

2

2

，y=

2

-1時(shí)，

1

x

+

1

y

有最小值為3+2

2

．
（3）解：由柯西不等式得到：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2．
因?yàn)閤²+4y²+9z²=36，所以（x+y+z）²≤36×（1+

1

4

+

1

9

）=49，即-7≤x+y+z≤7．
則x+y+z的最大值是7，此時(shí)有x=4y=9z，則當(dāng)x=

36

7

，y=

9

7

，z=

4

7

時(shí)，x+y+z取最大值7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，基本不等式的運(yùn)用求最值，以及柯西不等式的運(yùn)用求最值，注意等號(hào)成立的條件，屬于中檔題和易錯(cuò)題．