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19.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1、公比q,且a3=32S3=92
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log26a2n+1,且{bn}為遞增數(shù)列.若cn=1bnbn+1,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求得首項(xiàng)a1、公比q,然后數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;注意需要分類討論;
(2)利用(1)中求得的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式推知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)拆項(xiàng)法推知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式,則易求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

解答 解:(1)因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的首項(xiàng)a1、公比q,且a3=32S3=92
所以①當(dāng)q=1時(shí),an=32;
②當(dāng)q≠1時(shí),{a1q2=32a11q31q=92,
解得{a1=6q=12,
則an=6×(-12n-1
綜上所述,an={32q=16×12n1q1
(2)因?yàn)?{b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}$,且{bn}為遞增數(shù)列,
所以an=6×(-12n-1
所以a2n+1=6×(14n
所以bn=log26a2n+1=2n,則cn=1bnbn+1=141n-1n+1).
所以Tn=14(1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4n+1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解,利用拆項(xiàng)法和裂項(xiàng)相消法求和法是解決本題的關(guān)鍵.

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