Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 拋物線y2=4x與橢圓C有相同的焦點，且橢圓C過點 ． （I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若橢圓C的右頂點為A，直線l交橢圓C于E、F兩點（E、F與A點不重合），且滿足AE⊥AF，若點P為EF中點，求直線AP斜率的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得：拋物線y2=4x的焦點（1，0）與橢圓C有相同的焦點，即c=1， a2=b2+c2=b2+1，
由橢圓C過點 ，代入橢圓方程： ，解得：a=2，b= ，
則橢圓的標準方程為 ；
（Ⅱ）設直線AE的方程為y=k（x﹣2），
則 ，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，
由2+xE= ，可得xE= ，yE=k（xE﹣2）=﹣ ，
由于AE⊥AF，只要將上式的k換為﹣ ，可得xF= ，yF= ，
由P為EF的中點，
即有P（ ， ），
則直線AP的斜率為t= = ，
當k=0時，t=0；當k≠0時，t= ，
再令s= ﹣k，可得t= ，
當s=0時，t=0；當s＞0時，t= ≤ = ，
當且僅當4s= 時，取得最大值；
綜上可得直線AP的斜率的最大值為
【解析】（I）由題意可知：拋物線y2=4x的焦點（1，0），c=1，將點 代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）設直線AE的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程由韋達定理，求得E點坐標，由AE⊥AF，及中點坐標公式求得P坐標及直線AP的方程，當k≠0時，t= ，利用換元法及基本不等式的性質，即可求得直線AP斜率的最大值．