Question

已知△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且tan

A+B

C

=sinC，則下列結(jié)論正確的為

 

．
①△ABC為直角三角形；   ②

1

tan(C-A)

+

1

tan(C-B)

的最小值為2；
③若△ABC的周長(zhǎng)為4，則面積的最大值為12-8

2

；     ④

c

a

+

c

b

的范圍為[2

2

，+∞）．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用,余弦定理

專題：解三角形

分析：①利用二倍角公式對(duì)已知等式整理求得sin

C

2

的值，進(jìn)而求得C=

π

2

．
②利用基本不等式推斷結(jié)論正確．
③根據(jù)周長(zhǎng)建立關(guān)于a和b的等式，利用基本不等式的知識(shí)確定ab的范圍，則三角形的面積的范圍可得．
④利用正弦定理把邊的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角的正弦，使之平方，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性確定

c

a

+

c

b

的范圍．

解答： 解：∵tan

A+B

2

=

sin A+B 2

cos A+B 2

=

cos C 2

sin C 2

=sinC=2sin

C

2

•cos

C

2

，
求得sin²

C

2

=

1

2

，sin

C

2

=

2

2

，
∴

C

2

=

π

4

，C=

π

2

，
∴△ABC為直角三角形．故①正確．
②∵A+B=

π

2

，
∴tan（C-A）=cot（C-B）
∴

1

tan(C-A)

+

1

tan(C-B)

=cot（C-B）+

1

tan(C-B)

≥2，故②正確．
③中，a+b+

a2+b2

=4，整理得8+ab=4（a+b），
∵a+b≥2

ab

，
∴8+ab≥8

ab

，即（

ab

）²-8

ab

+8≥0，
解得

ab

≤4-2

2

，或

ab

≥4+2

2

（舍去），
∴ab≤24-16

2

，
∴S=

1

2

ab≤12-8

2

，③正確．
④中

c

a

+

c

b

=

1

sinA

+

1

sinB

=

1

sinA

+

1

cosA

，
令（

c

a

+

c

b

）²=（

1

sinA

+

1

cosA

）²=

1

sin2A

+

1

cos2A

+

2

sinAcosA

=

1

sin2Acos2A

+

2

sinAcosA

=

4

sin22A

+

4

sin2A

，
設(shè)

1

sin2A

=t，則t≥1，
∴（

c

a

+

c

b

）²=f（t）=4t²+4t，此函數(shù)在（-1，+∞）上單調(diào)增，
∴f（t）≥f（1）=8，
∴

c

a

+

c

b

≥2

2

，故結(jié)論④正確．
綜合可知①②③④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的綜合問(wèn)題．綜合考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，基本不等式問(wèn)題，以及轉(zhuǎn)化和化歸思想的運(yùn)用．