Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的一點M（3，y₀）到焦點F的距離等于4．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若過點（4，0）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，求△ABO面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線C：y²=2px（p＞0）上的一點M（3，y₀）到焦點F的距離等于4，求出p的值，可得拋物線C的方程；
（Ⅱ）解法1：分類討論，設出直線l：y=k（x-4），與拋物線方程聯立，利用韋達定理，結合面積公式，即可求△ABO面積的最小值；
解法2：設直線l：x=ty+4，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，結合面積公式，即可求△ABO面積的最小值；

解答： 解：（Ⅰ）依題意可知|MF|=3+

p

2

=4，∴p=2．故拋物線C的方程為：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）解法1：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=4，
聯立方程組

y2=4x x=4

，解得y₁=-4，y₂=4S△ABC=

1

2

×4×|y1-y2|=16．…（8分）
②當直線l的斜率存在時，設直線l：y=k（x-4）（k≠0）．
聯立方程組

y2=4x y=k(x-4)

，消去x得y2-

4

k

y-16=0，
∴y1+y2=

4

k

，y₁•y₂=-16…（11分）S△ABC=

1

2

×4×|y1-y2|=2

(y1+y2)2-4y1•y2

=2

16( 1 k2 +4)

=8

1 k2 +4

＞16
綜合①②可得當直線l的斜率不存在時，S_△ABC取得最小值16．…（13分）
解法2：設直線l：x=ty+4．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…（7分）
聯立方程組

y2=4x x=ty+4

，消去x得y²-4ty-16=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-16…（10分）S△ABC=

1

2

×4×|y1-y2|=2

(y1+y2)2-4y1•y2

=2

16(t2+4)

=8

t2+4

當t=0時，S_△ABC取得最小值16．…（13分）

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．