Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞)．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＞a+3；
（3）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=4時(shí)，利用基本不等式即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）根據(jù)一元二次不等式的解法即可解關(guān)于x的不等式f（x）＞a+3；
（3）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，利用參數(shù)分離，然后求函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a=4，
∴f(x)=

x2+2x+4

x

=x+

4

x

+2≥6，
當(dāng)x=2時(shí)，取得等號(hào)，
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_min=6．
（2）由題意得

x2+2x+a

x

＞a+3，x∈[1，+∞)，
∴x²+2x+a＞（a+3）x，
∴x²-（a+1）x+a＞0，
∴（x-1）（x-a）＞0，
當(dāng)a≤1，不等式的解為x＞1，即不等式的解集為（1，+∞），
當(dāng)a＞1，不等式的解為x＞a，即不等式的解集為（a，+∞）．
（3）x∈[1，+∞)，

x2+2x+a

x

＞0恒成立，即x∈[1，+∞)，x2+2x+a＞0恒成立，
等價(jià)于a＞-x²-2x，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，
令g（x）=-x²-2x，
則當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）的最大值為g（1）=-1-2=-3，
∴a＞-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．