Question

20．如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在CE上．
（1）求證：DE⊥BE；
（2）求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得AE⊥BC，DA⊥BE，再由線面垂直的性質(zhì)得AE⊥BF，結(jié)合線面垂直的判定得AE⊥平面BEC，進(jìn)一步得AE⊥BE，再由線面垂直的判定和性質(zhì)可得DE⊥BE；
（2）作EH⊥AB，由面面垂直的性質(zhì)可得EH⊥面AC，解直角三角形求得EH，AE，然后代入棱錐體積公式得答案．

解答 （1）證明：∵DA⊥平面ABE，BC∥DA，
∴AE⊥BC，DA⊥BE，
∵BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，∴AE⊥BF，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BEC，
則AE⊥BE，
∵AE∩AD=A，∴BE⊥面DAE．
則DE⊥BE；
（2）解：作EH⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABE，∴EH⊥面AC，
∵AE⊥BE，AE=EB=BC=2，∴EH=$\sqrt{2}$．
∴${V}_{E-ABCD}=\frac{1}{3}EH•{S}_{四邊形ABCD}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×2×2\sqrt{2}=\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查柱、錐、臺(tái)體的體積，是中檔題．