Question

6．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足2f（4-x）=f（x）+x²-2，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程是4x+3y-14=0．

Answer 1

分析 先根據(jù)2f（4-x）=f（x）+x²-2，求出函數(shù)f（x）的解析式，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而可得到y(tǒng)=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式可求導(dǎo)切線方程．

解答 解：∵2f（4-x）=f（x）+x²-2，
∴將x換為4-x，可得f（4-x）=2f（x）-（4-x）²+2．
將f（4-x）代入f（x）=2f（4-x）-x²+2，
得f（x）=4f（x）-2（4-x）²+4-x²+2，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$（3x²-16x+26），f'（x）=2x-$\frac{16}{3}$，
∴y=f（x）在（2，f（2））處的切線斜率為y′=-$\frac{4}{3}$．
∴函數(shù)y=f（x）在（2，2）處的切線方程為y-2=-$\frac{4}{3}$（x-2），
即為4x+3y-14=0．
故答案為：4x+3y-14=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)解析式的方法和函數(shù)的求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義．函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)的切線方程的斜率．