Question

15．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為 S_n且滿足a₃-a₁=4，S₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式； 
（2）設(shè)b_n=a_n•2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，求出首項(xiàng)，再由當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1，即可得到a_n=a_n-1+1，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，注意運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}為d，
∵a₃-a₁=4，S₃=12，
∴2d=4，3a₁+3d=12，
解得a₁=2，d=2，
故a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）b_n=a_n•2^n-1=n•2ⁿ，
則T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2•（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
則T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．