Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（Ⅰ）若，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)相異極值點(diǎn)， ，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可，
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，即導(dǎo)函數(shù)g′（x）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1、x2，對(duì)a進(jìn)行分類討論，令，構(gòu)造函數(shù)φ（t），利用函數(shù)φ（t）的單調(diào)性證明不等式．

試題解析：

（Ⅰ）由，恒有，即， 對(duì)任意成立，

記， ，

當(dāng)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)， ， 單調(diào)遞減，

最大值為，

∴， ．

（Ⅱ）函數(shù)有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)， ，

即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

①當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增， 不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

∴，∴，

不妨設(shè)，∵，

∴， ， ，

先證，即證，

即證，

令，即證，設(shè)，

則，函數(shù)在單調(diào)遞減，

∴，∴，又，∴，

∴．