Question

如圖，在四棱柱ABCD=A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，DC=DD₁=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積；    
（2）求證：D₁C⊥AC₁；
（3）設(shè)F是BC上一點(diǎn)，試確定F的位置，使D₁F∥平面A₁BD，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面平行的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用柱體的體積公式，即可求出四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積；
（2）證明D₁C⊥平面ADC₁，可得D₁C⊥AC₁；
（3）F是BC的中點(diǎn)，取CD中點(diǎn)E，連接BE，EF，D₁F，證明平面D₁EF∥平面A₁BD，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，DC=DD₁=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為

1+2

2

×1=

3

2

；
（2）證明：由題意可知，AD⊥平面DD₁C₁C，
∴AD⊥D₁C，
∵四邊形DD₁C₁C是正方形，
∴D₁C⊥DC₁，
∵DC₁∩AD=D，
∴D₁C⊥平面ADC₁，
∴可得D₁C⊥AC₁；
（3）解：F是BC的中點(diǎn)，
取CD中點(diǎn)E，連接BE，EF，D₁F，則BE∥A₁D₁，BE=A₁D₁，
∴四邊形A₁D₁EB是平行四邊形，
∴D₁E∥A₁B，
∴D₁E∥平面A₁BD，
∵F是BC的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，
∴EF∥平面A₁BD，
∵D₁E∩EF=E，
∴平面D₁EF∥平面A₁BD，
∴D₁F∥平面A₁BD．

點(diǎn)評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，幾何體的體積的求法，直線與平面的位置關(guān)系的判斷，考查空間想象能力計(jì)算能力，屬于中檔題．