分析 設(shè)P(m,n),A(x1,y1),B(x2,y2),運(yùn)用橢圓的一點(diǎn)處的切線斜率x2+2yy′=0,求出直線PA,PB的方程,進(jìn)而得到AB的方程為,代入橢圓方程,利用數(shù)量積公式,以及韋達(dá)定理,化簡(jiǎn)整理,由P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),可知n=0,利用基本不等式的關(guān)系,即可求得→PA•→PB的最小值.
解答 解:設(shè)P(m,n),A(x1,y1),B(x2,y2),
則對(duì)x24+y2=1兩邊求導(dǎo),得x2+2yy′=0,
則過(guò)切點(diǎn)A的斜率為-x14y1,切線方程為:y-y1=-x14y1(x-x1),
又x21+4y21=4,化簡(jiǎn)即得PA:x1x4+y1y=1,同理可得,PB:x2x4+y2y=1,
∵PA、PB為該橢圓的兩條切線,
∴直線AB的方程為mx4+ny=1,
代入橢圓方程可得(4n2+m2)x2-8mx+(16-16n2)=0,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=8m4n2+m2,x1•x2=16−16n24n2+m2,
∴→PA•→PB=(x1-m)(x2-m)+(y1-m)(y2-m),=x1•x2+m2-m(x1+x2)+y1•y2-n(y1+y2)+n2,
=20−3m24n2+m2+m2-n2-6,
∵P為X軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
∴n=0,
→PA•→PB=20m2+m2-9≥2√20m2•m2=4√5-9,
當(dāng)且僅當(dāng)20m2=m2,即m2=2√5時(shí)取等號(hào).
故答案為:4√5-9.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,韋達(dá)定理,平面向量的數(shù)量積和基本不等式的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 6 | B. | 5 | C. | 4 | D. | 3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 6 | B. | 9 | C. | 12 | D. | 18 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{4} | B. | \frac{1}{2} | C. | 1 | D. | 2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 7 | C. | 14 | D. | 21 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 75 | B. | 76 | C. | 77 | D. | 78 |
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com