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11.已知橢圓x24+y2=1,P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PA、PB為該橢圓的兩條切線,A、B為切點(diǎn),則PAPB的最小值為45-9.

分析 設(shè)P(m,n),A(x1,y1),B(x2,y2),運(yùn)用橢圓的一點(diǎn)處的切線斜率x2+2yy′=0,求出直線PA,PB的方程,進(jìn)而得到AB的方程為,代入橢圓方程,利用數(shù)量積公式,以及韋達(dá)定理,化簡(jiǎn)整理,由P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),可知n=0,利用基本不等式的關(guān)系,即可求得PAPB的最小值.

解答 解:設(shè)P(m,n),A(x1,y1),B(x2,y2),
則對(duì)x24+y2=1兩邊求導(dǎo),得x2+2yy′=0,
則過(guò)切點(diǎn)A的斜率為-x14y1,切線方程為:y-y1=-x14y1(x-x1),
x21+4y21=4,化簡(jiǎn)即得PA:x1x4+y1y=1,同理可得,PB:x2x4+y2y=1
∵PA、PB為該橢圓的兩條切線,
∴直線AB的方程為mx4+ny=1,
代入橢圓方程可得(4n2+m2)x2-8mx+(16-16n2)=0,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=8m4n2+m2,x1•x2=1616n24n2+m2,
PAPB=(x1-m)(x2-m)+(y1-m)(y2-m),=x1•x2+m2-m(x1+x2)+y1•y2-n(y1+y2)+n2,
=203m24n2+m2+m2-n2-6,
∵P為X軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
∴n=0,
PAPB=20m2+m2-9≥220m2m2=45-9,
當(dāng)且僅當(dāng)20m2=m2,即m2=25時(shí)取等號(hào).
故答案為:45-9.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,韋達(dá)定理,平面向量的數(shù)量積和基本不等式的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.

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