Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x，其中a≥0．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值g（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求出f（1）和f′（1），由直線方程的點(diǎn)斜式得到曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間（0，2）上的極值，和端點(diǎn)值比較后得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x³-2x²-4x，
∴f'（x）=3x²-4x-4，
∴f'（1）=-5，f（1）=-5，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+5=-5×（x-1），
即5x+y=0；
（2）x∈[0，2]，f'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a），
令f'（x）=0，則x1=-

a

3

，x2=a．
①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=3x²≥0在[0，2]上恒成立，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（0）=0；
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，在區(qū)間[0，a）上，f'（x）＜0，在區(qū)間（a，2]上，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，2]上單調(diào)遞增，且x=a是[0，2]上唯一極值點(diǎn)，
∴f（x）min=f（a）=-a3；
③當(dāng)a≥2時(shí)，在區(qū)間[0，2]上，f'（x）≤0（僅有當(dāng)a=2時(shí)f'（2）=0），
∴f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）min=f（2）=8-4a-2a2．
綜上所述，當(dāng)0≤a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-a³，a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為8-4a-2a²．
故g（a）=

-a3  (0≤a＜2) 8-4a-2a2  (a≥2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．是壓軸題．