Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=rⁿ-1（r＞0，r≠1），且

a5

a2

=27．
（1）求r的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n²，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意化簡(jiǎn)a₂=S₂-S₁、a₅=S₅-S₄，代入

a5

a2

=27化簡(jiǎn)求出r的值，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（2）由（1）條件化簡(jiǎn)b_n=a_n²，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出T_n．

解答： 解：（1）由題意知，S_n=rⁿ-1（r＞0，r≠1），
則a₂=S₂-S₁=（r²-1）-（r-1）=r²-r，
a₅=S₅-S₄=（r⁵-1）-（r⁴-1）=r⁵-r⁴，
因?yàn)?span id="rxyczkw" class="MathJye">

a5

a2

=27，所以

r5-r4

r2-r

=27，解得r=3，
則S_n=3ⁿ-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3-1=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2•3^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，所以a_n=2•3^n-1；
（2）由（1）得，b_n=a_n²=4•3^2n-2=4•9^n-1，
所以T_n=4（9+9²+9³+…+9^n-1）=4×

9(1-9n)

1-9

=

9(9n-1)

2

，
則T_n=

9(9n-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的應(yīng)用，考查方程思想和化簡(jiǎn)能力．