Question

某中學(xué)選派40名同學(xué)參加倫敦奧運(yùn)會(huì)青年志愿者服務(wù)隊(duì)（簡(jiǎn)稱“青志隊(duì)”），他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如表所示．

活動(dòng)次數(shù)	1	2	3
參加人數(shù)	5	15	20

（Ⅰ）從“青志隊(duì)”中任意選3名學(xué)生，求這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加活動(dòng)次數(shù)恰好為3次的概率；
（Ⅱ）從“青志隊(duì)”中任選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）從“青志隊(duì)”中任意選3名學(xué)生，有

C

3 40

種選法，這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加活動(dòng)次數(shù)恰好為3次的情況有

C

1 20

•

C

2 20

+

C

3 20

種，由此能求出這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加活動(dòng)次數(shù)恰好為3次的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）從“青志隊(duì)”中任意選3名學(xué)生，有

C

3 40

=9880種選法，
這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加活動(dòng)次數(shù)恰好為3次的情況有：

C

1 20

•

C

2 20

+

C

3 20

=4940，
∴這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加活動(dòng)次數(shù)恰好為3次的概率：
p=

4940

9880

=

1

2

．
（Ⅱ）從“青志隊(duì)”中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件A，
“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件B，
“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件C．
由題意知ξ=0，1，2，
P（ξ=0）=

C 2 5 +C 2 15 +C 2 20

C 2 40

=

305

780

，
P（ξ=1）=P（A）+P（B）=

C 1 5 C 1 15

C 2 40

+

C 1 15 C 1 20

C 2 40

=

375

780

，
P（ξ=2）=P（C）=

C 1 5 C 1 20

C 2 40

=

100

780

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	305 780	375 780	100 780

Eξ=0×

305

780

+1×

375

780

+2×

100

780

=

101

156

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率和離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是理解題意，能夠用等可能事件的概率做出變量對(duì)應(yīng)的概率，本題是一個(gè)中檔題目．