如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
5
5
，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，且△MNF2的周長為4
5

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是過橢圓E中心的任意弦，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點，求△APB面積的最小值．
（Ⅰ）∵△MNF2周長為4
5
，
∴4a=4
5
，
∴a=
5
，
∵離心率e=
5
5
，
∴c=1，
∴b=
a2-c2
=2，
∴橢圓E的方程為
x2
5
+
y2
4
=1；
（Ⅱ）直線AB的方程為y=kx，線段AB的垂直平分線為y=-
1
k
x，
y=-
1
k
x與橢圓方程聯(lián)立，可得x=±
20k2
4k2+5
，
∴可得P（
20k2
4k2+5
，-
1
k
20k2
4k2+5
），
P到直線AB的距離為d=|
k2+1
k
•
20k2
4k2+5
|
y=kx與橢圓方程聯(lián)立，可得x=±
20
4+5k2

∴|AB|=
1+k2
•2
20
4+5k2

∴S△ABP=
1
2
|AB|d|=
1
2
1+k2
•2
20
4+5k2
•|
k2+1
k
•
20k2
4k2+5
|
令t=k2+1（t≥1），則S△ABP=20•
t2
(5t-1)(4t+1)
=20•
1
-(
1
t
-
1
2
)2+
81
4
，
∵t≥1，
∴t=1，即k=0時，△APB面積的最小值為2
5
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的方程為5x2-4y2=20兩個焦點為F1，F(xiàn)2．
（1）求此雙曲線的焦點坐標(biāo)和漸近線方程；
（2）若橢圓與此雙曲線有共同的焦點，且有一公共點P滿足|PF1|•|PF2|=6，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
6
3
，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的兩頂點為A(
2
，0)，B（0，1），該橢圓的左右焦點分別是F1，F(xiàn)2．
（1）在線段AB上是否存在點C，使得CF1⊥CF2？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（2）設(shè)過F1的直線交橢圓于P，Q兩點，求△PQF2面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

曲線y=x2上的點到直線2x+y+4=0的最短距離是（　　）
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：x2=2py過點P(1，
1
2
)，直線l交C于A，B兩點，過點P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定點Q，當(dāng)直線l過點Q時，△PAM與△PBN的面積相等？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某圓錐曲線有下列信息：
①曲線是軸對稱圖形，且兩坐標(biāo)軸都是對稱軸；
②焦點在x軸上且焦點到坐標(biāo)原點的距離為1；
③曲線與坐標(biāo)軸的交點不是兩個；
④曲線過點A（1，
3
2
）．
（1）判斷該圓錐曲線的類型并求曲線的方程；
（2）點F是改圓錐曲線的焦點，點F′是F關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，點P為曲線上的動點，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上一點A（m，4）到其焦點F的距離為
17
4
．
（1）求P與m的值；
（2）若直線l過焦點F交拋物線于P，Q兩點，且|PQ|=5，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，橢圓C上的點到左焦點F距離的最小值與最大值之積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過橢圓C內(nèi)一點M（m，0），與橢圓C交于P、Q兩點．對給定的m值，若存在直線l及直線母x=-2上的點N，使得△PNQ的垂心恰為點F，求m的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案