Question

有一矩形鋼板ABCD缺損了一角（圖中陰影部分），邊緣線OM上每一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離都等于它到邊AB的距離．工人師傅要將缺損的一角切割下來(lái)使剩余部分成一個(gè)五邊形，已知AB=4米，AD=2米．
（1）如圖所示建立直角坐標(biāo)系，求邊緣線OM的軌跡方程；
（2）①設(shè)點(diǎn)P（t，m）為邊緣線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出點(diǎn)P處切線EF的方程（用t表示）；
②求AF的值，使截去的△DEF的面積最小．

Answer 1

分析：（1）建立直角坐標(biāo)系，利用拋物線的定義，到定點(diǎn)距離等于到定直線距離的點(diǎn)的軌跡為拋物線，可判斷OM的軌跡形狀，再利用拋物線方程的求法求出軌跡方程即可．
（2）①欲求曲線在點(diǎn)P處的切線方程，只需求出切線的斜率，根據(jù)切線斜率是曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即可求出切線斜率，再用直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程．
②利用①中所求切線方程，求出E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)，把三角形DEF的面積用含t的式子表示，再用導(dǎo)數(shù)判斷t等于何值時(shí)，面積有最小值．

解答：解：（1）如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
則D（0，1），直線AB方程為y=-1
∵OM上每一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離都等于它到邊AB的距離，
∴OM的軌跡為以D點(diǎn)為焦點(diǎn)，以AB為直徑的拋物線的一部分，
∴OM的軌跡方程為x²=4y（0≤x≤2）
（2）①∵點(diǎn)P（t，m）在曲線x²=4y，∴t²=4m，m=

t2

4

曲線x²=4y可化為y=

x2

4

，求導(dǎo)，得，y′=

x

2

∴曲線在點(diǎn)P處切線斜率k=

t

2

，切線EF的方程為y-m=

t

2

（x-t）
把m=

t2

4

代入，得，y-

t2

4

=

t

2

（x-t）
②令切線y-

t2

4

=

t

2

（x-t）中x=0，得，y=-

t2

4

令y=1，得，x=

2

t

+

t

2

∴S_△DEF=

1

2

|DE||DF|=

1

2

（1+

t2

4

）（

2

t

+

t

2

）=

t3

16

+

t

2

+

1

t

∴S′_△DEF=

3t2

16

+

1

2

-

1

t2

，當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，S′_△DEF＜0
∴S_△DEF隨t的增大而減小，
∵0≤t≤1，∴當(dāng)t=1時(shí)，S_△DEF有最小值為

25

16

此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

1

4

），AF=

3

4

∴當(dāng)AF=

3

4

時(shí)，截去的△DEF的面積最小．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了借助圓錐曲線中的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于圓錐曲線的應(yīng)用．