Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，記S_n為數(shù)列的前n項和，且當(dāng)n≥2時，a_n，S_n，Sn-

1

2

成等比數(shù)列，n∈N，求S_n．

Answer 1

分析：由題意可得 Sn2=a_n•（Sn-

1

2

）=（S_n-S_n-1）•（Sn-

1

2

），化簡可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，故{

1

Sn

}是以1位首項，以2為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得

1

Sn

的解析式，從而求得S_n的解析式．

解答：解：在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n，S_n，Sn-

1

2

成等比數(shù)列，n∈N，
故有 Sn2=a_n•（Sn-

1

2

）=（S_n-S_n-1）•（Sn-

1

2

）=Sn2-

1

2

S_n-S_n•S_n-1+

1

2

S_n-1．
化簡可得 S_n-1-S_n=2S_n•S_n-1，兩邊同時除以S_n•S_n-1 可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，故{

1

Sn

}是以1位首項，以2為公差的等差數(shù)列．
故

1

Sn

=1+（n-1）2=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于中檔題．