Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率e=

4

5

，直線y=x+4經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F₁．
（1）求該橢圓的方程；
（2）若該橢圓上有一點(diǎn)P滿足：

PF1

•

PF2

=0，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）運(yùn)用勾股定理，結(jié)合橢圓的定義，求得|PF₁|•|PF₂|=18，再由三角形面積公式即可得到．

解答： 解：（1）直線y=x+4與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0），
則F₁的坐標(biāo)為（-4，0），c=4．
∵e=

c

a

=

4

5

，∴a=5，b²=a²-c²=9．
則橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）由

PF1

•

PF2

=0得：

PF1

⊥

PF2

，所以PF₁⊥PF₂，
所以△PF₁F₂是直角三角形，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=64．
又∵|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=100，
則|PF₁|•|PF₂|=18
故S△F1PF2=

1

2

|PF1|•|PF2|=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)：離心率，考查平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查三角形的面積公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．