Question

已知f（xy）=f（x）+f（y）
（1）若x，y∈R，求f（1），f（-1）的值；
（2）若x，y∈R，判斷y=f（x）的奇偶性；
（3）若函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）=1，f（x）+f（x-2）≤3，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用已知條件，通過(guò)賦值法即可f（1），f（-1）的值；
（2）通過(guò)（1）f（-1）=0，利用函數(shù)的奇偶性定義，判斷y=f（x）的奇偶性；
（3）利用函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，結(jié)合f（2）=1，f（x）+f（x-2）≤3，得到不等式組，即可求x的取值范圍．

解答： 解；（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0---------------（2分）
又令x=y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1），所以f（-1）=0--------（3分）
（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1），由（1）知f（-1）=0
所以f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，-----------（6分）
（3）因?yàn)閒（4）=f（2）+f（2）=1+1=2----------------（7分）
所以f（8）=f（2）+f（4）=1+2=3---------------（8分）
（2）因?yàn)閒（x）+f（x-2）≤3
所以f[x（x-2）]≤f（8）---------------（10分）
因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
所以

x＞0 x-2＞0 x(x-2)≤8

，即

x＞0 x＞2 -2≤x≤4

------------------（13分）
所以{x|2＜x≤4}，所以不等式的解集為{x|2＜x≤4}------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值的求法，奇偶性的判斷，單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．