Question

某人駕車從A地到B地要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是

1

3

，遇到紅燈時(shí)停留時(shí)間都是30秒．
（Ⅰ）求該人駕車從A地到B地路上，到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；
（Ⅱ）設(shè)該人駕車從A地到B地路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間為ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈說(shuō)明前兩個(gè)路口遇到的都不是紅燈，由此利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式能求出第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率．
（II）由題意可知ξ=0，30，60，90，120，P（ξ=30×k）=C

k 4

（

1

3

）^k（

2

3

）^4-k，k=0，1，2，3，4，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答： 解：（I）設(shè)第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，
P（A）=（1-

1

3

）×（1-

1

3

）×

1

3

=

4

27

．…（4分）
（II）由題意可知ξ=0，30，60，90，120，…（5分）
P（ξ=30×k）=C

k 4

（

1

3

）^k（

2

3

）^4-k，k=0，1，2，3，4，
∴ξ的分布是

ξ	0	30	60	90	120
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

…（10分）
Eρ=0×

16

81

+30×

32

81

+90×

8

81

+120×

1

81

=40．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．